Question

设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．

Answer 1

对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1-x）ln（1-x）]'=lnx-ln（1-x）=ln

x

1-x

．
令f^′（x）=0，则

x

1-x

=1，解得x=

1

2

．
当0＜x＜

1

2

，f′(x)=lnx-ln(1-x)＜0，f(x)在区间(0，

1

2

)是减函数，
当1＞x＞

1

2

，f′(x)=lnx-ln(1-x)＞0，f(x)在区间(

1

2

，1)是增函数．
所以f(x)在x=

1

2

时取得最小值，f(

1

2

)=-1．