Question

19．已知数列{a_n}，a₁=1，${a_{n+1}}+{a_n}={（\frac{1}{3}）^n}$，n∈N^*，则$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_{2n-1}}）$=$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 先根据数列关系式得到a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n-2+a_2n-1）=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$+…+$\frac{1}{{3}^{2n-2}}$，再根据等比数列的求和公式计算，最后求极限．

解答 解：∵${a_{n+1}}+{a_n}={（\frac{1}{3}）^n}$，n∈N，
∴a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n-2+a_2n-1），
=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$+…+$\frac{1}{{3}^{2n-2}}$，
=1+$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{2n-2}}）}{1-\frac{1}{9}}$，
=1+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{8×{3}^{2n-1}}$，
=$\frac{9}{8}$-$\frac{1}{8×{3}^{2n-1}}$，
∴$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_{2n-1}}）$=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{9}{8}$-$\frac{1}{8×{3}^{2n-1}}$）=$\frac{9}{8}$，
故答案为：$\frac{9}{8}$

点评 本题考查了等比数列的求和公式和极限的定义，考查了学生的运算能力，属于中档题