Question

已知f(x)＝log_mx(m为常数，m＞0且m≠1)．设f(a₁)，f(a₂)，…，f(a_n)(n∈N₊)是首项为4，公差为2的等差数列．

(Ⅰ)求证：数列{a_n}是等比数列；

(Ⅱ)若b_n＝a_n·f(a_n)，且数列{b_n}的前n项和S_n，当时，求S_n；

(Ⅲ)若c_n＝a_nlga_n，问是否存在m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由题意即 　　∴　　2分 　　∴　∵m＞0且，∴m2为非零常数， 　　∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列　　4分 　　(Ⅱ)由题意， 　　当 　　∴①　　6分 　　①式两端同乘以2，得 　　②　　7分 　　②－①并整理，得 　　 　　 　　＝ 　　 　　　　10分 　　(Ⅲ)由题意 　　要使对一切成立， 　　即对一切成立， 　　①当m＞1时，成立；　　12分 　　②当0＜m＜1时， 　　∴对一切成立，只需， 　　解得，考虑到0＜m＜1，∴0＜m＜ 　　综上，当0＜m＜或m＞1时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项．　　14分