Question

19．已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=4-f（x），若函数y=$\frac{2x+1}{x}$与　y=f（x）　图象的交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_m，y_m），则$\sum_{i=1}^{m}$（x_i+y_i）=2m．

Answer 1

分析 根据两函数的对称中心均为（0，2）可知出x₁+x₂+x₃+…+x_m=0，y₁+y₂+y₃+…+y_m=$\frac{m}{2}$×4=2m，从而得出结论．

解答 解：∵f（-x）=4-f（x），f（-x）+f（x）=4，
∴f（x）的图象关于点（0，2）对称，
∵y=$\frac{2x+1}{x}$=2+$\frac{1}{x}$也y关于点（0，2）对称，
∴x₁+x₂+x₃+…+x_m=0，y₁+y₂+y₃+…+y_m=$\frac{m}{2}$×4=2m，
故答案为2m．

点评 本题考查了函数的对称性的性质，属于中档题．