Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点(，)．
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意可设椭圆方程为(a＞b＞0)，
则，故
所以，椭圆方程为．
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为 y=kx+m (m≠0)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
由消去y得，
，
则，
且，，
故，
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以，==k²，
即+m²=0，
又m≠0，所以，k²=，即k=，
由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，
得0＜m²＜2且m²≠1，
设d为点O到直线l的距离，
则S_△OPQ=d|PQ|=|x₁-x₂||m|=，
所以，S_△OPQ的取值范围为 (0，1)．