Question

20．已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=3，a₁+a₂+a₃=12．
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$，求证：数列{b_n}是等比数列
（3）求证：$\frac{1}{（2{a}_{1}-5）^{2}}$+$\frac{1}{（2{a}_{2}-5）^{2}}$+…+$\frac{1}{（2{a}_{n}-5）^{2}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的通项公式及其定义即可得出；
（3）$（2{a}_{n}-5）^{2}$=（2n-1）²，n≥2时，$\frac{1}{（2{a}_{n}-5）^{2}}$=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＜$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$．利用“累加求和”与数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=3，a₁+a₂+a₃=12，∴3×3+3d=12，解得d=1．
∴a_n=3+（n-1）=n+2．
（2）证明：b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$=3ⁿ⁺²=27×3^n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为27，公比为3．
（3）证明：∵$（2{a}_{n}-5）^{2}$=（2n-1）²，
∴n≥2时，$\frac{1}{（2{a}_{n}-5）^{2}}$=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＜$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$．
∴$\frac{1}{（2{a}_{1}-5）^{2}}$+$\frac{1}{（2{a}_{2}-5）^{2}}$+…+$\frac{1}{（2{a}_{n}-5）^{2}}$=1+$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]$=1+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n-1}）$＜$\frac{3}{2}$．
∴$\frac{1}{（2{a}_{1}-5）^{2}}$+$\frac{1}{（2{a}_{2}-5）^{2}}$+…+$\frac{1}{（2{a}_{n}-5）^{2}}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“累加求和”方法、“放缩法”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．