Question

20．在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=$\frac{π}{2}$，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角A-BC-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥平面ACF．
（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A-BC-F的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，
过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（1，1，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），
C（-1，2，0），F（0，4，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BE}$=（-1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AF}$=（-1，4，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{AF}$=1-4+3=0，$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{AC}$=2-2=0，
∴BE⊥AF，BE⊥AC，
又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{BC}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，3，$\sqrt{3}$），
设平面BCF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-x+3y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-$\frac{5}{\sqrt{3}}$），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角A-BC-F的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}$=$\frac{\frac{5}{\sqrt{3}}}{\sqrt{1+4+\frac{25}{3}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴二面角A-BC-F的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．