Question

20．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，若在双曲线C的右支上存在一点P满足|PF₁|=3|PF₂|，且$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=-a²，则双曲线C的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设|PF₂|=t，则|PF₁|=3t，利用双曲线的定义，可得t=a，利用余弦定理可得cos∠F₁PF₂，再利用数量积公式，即可求出双曲线C的离心率为．

解答 解：设|PF₂|=t，则|PF₁|=3t，∴3t-t=2a，
∴t=a，
由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{9{a}^{2}+{a}^{2}-4{c}^{2}}{2×3a×a}$=$\frac{5{a}^{2}-2{c}^{2}}{3{a}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=-a²，
∴3a•a•$\frac{5{a}^{2}-2{c}^{2}}{3{a}^{2}}$=-a²，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义、余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，属于中档题．