Question

11．已知数列{a_n}满足${S_n}=2{a_n}-{2^{n+1}}+n（n∈{N^*}）$．
（1）求a₂，a₃；
（2）是否存在实数λ，使数列$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$为等差数列，若存在，求出请求出λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可以推知${a_n}=2{a_{n-1}}+{2^n}-1（n≥2）$，代入求值即可；
（2）通过假设数列{a_n}可能为等差数列，利用该数列的前3项成等差数列得出关于λ的方程，进而确定出λ的值，验证数列后面的项是否满足等差数列即可．

解答 解：（1）∵${S_n}=2{a_n}-{2^{n+1}}+n$，
∴${S_{n-1}}=2{a_{n-1}}-{2^n}+n-1（n≥2）$，
从而 ${a_n}=2{a_n}-2{a_{n-1}}-{2^n}+1$，即：${a_n}=2{a_{n-1}}+{2^n}-1（n≥2）$．
可得a₁=3，${a_2}=2{a_1}+{2^2}-1⇒{a_2}=9$，${a_3}=2{a_2}+{2^3}-1⇒{a_3}=25$．
（2）若$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$为等差数列，
则$\frac{{{a_1}+λ}}{{{2^{\;}}}}+\frac{{{a_3}+λ}}{2^3}=2（\frac{{{a_2}+λ}}{2^2}）$，$\frac{3+λ}{{{2^{\;}}}}+\frac{25+λ}{8}=\frac{9+λ}{{{2^{\;}}}}$，λ=-1．
当λ=-1时，$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}=\frac{{2{a_{n-1}}+{2^n}-2}}{2^n}=\frac{{{a_{n-1}}-1}}{{{2^{n-1}}}}+1$．
即：$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}-\frac{{{a_{n-1}}-1}}{{{2^{n-1}}}}=1$，数列$\{\frac{{{a_n}-1}}{2^n}\}$为等差数列．
∴存在实数λ=-1，使数列$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$为等差数列．

点评 考查数列为等差数列的判定方法、探究性问题的解决思路，考查学生解决问题的方程思想、确定一个命题为假命题的方法，关键要进行问题的转化，考查学生的运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．