Question

已知数列的前项和为满足.

（Ⅰ）函数与函数互为反函数，令，求数列的前项和；

（Ⅱ）已知数列满足，证明:对任意的整数，有.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）详见解析;

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；又函数与函数互为反函数，知，可求，在利用错位相减求数列的前项和；（Ⅱ）结合（Ⅰ）和，求出通项公式，在求出，利用不等式放缩求出，对k按当且为偶数和当且为奇数分类讨论利用等比数列前n项和公式求和/

试题解析：（Ⅰ）由，得

当时，有，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以

由题意得，所以

①

得 ②

得，所以

（Ⅱ）由通项公式得，当且为奇数时

①当且为偶数时

②当且为奇数时.

考点：1.数列的地推关系；2.错位相减法求和；3.不等式放缩在数列中的应用.