已知函数$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=(sinx+$\sqrt{3}$cosx.-$\frac{3}{2}$).g(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．(1)当x∈[0.π]时.求函数g(x)的单调递增区间,的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位.再� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知函数$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{3}{2}$），g（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）当x∈[0，π]时，求函数g（x）的单调递增区间；
（2）将函数g（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的4倍，向下平移两个单位后，得到f（x）的图象，求f（x）的最大值，及取得最大值时x的集合；
（3）若a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），若a=$\sqrt{3}$．求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值．

分析（1）利用平面向量的数量积运算，求出g（x）的解析式，再求g（x）的单调增区间；
（2）根据三角函数的平移变换，即可得出f（x）的解析式，从而求出f（x）的最大值以及对应x的集合；
（3）根据f（x）≤f（A）得出f（A）为f（x）为最大值，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$和余弦定理、基本不等式即可求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{3}{2}$），
∴g（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-1×（-$\frac{3}{2}$）
=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2；
当x∈[0，π]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，
令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{3}$，
令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，解得x=$\frac{5π}{6}$；
∴函数g（x）的单调递增区间是[0，$\frac{π}{3}$]和[$\frac{5π}{6}$，π]；
（2）将函数g（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]+2=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2的图象，
再横坐标伸长为原来的2倍，得y=sin（x+$\frac{π}{6}$）+2的图象，
纵坐标伸长为原来的4倍，得y=4sin（x+$\frac{π}{6}$）+2的图象，
向下平移两个单位，得y=4sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象，
即f（x）=4sin（x+$\frac{π}{6}$）；
∴f（x）的最大值为4，且取最大值时x的集合为{x|x=$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z}；
（3））∵?x∈R，有f（x）≤f（A），
∴f（A）为f（x）为最大值，
∴f（A）=4即sin（A+$\frac{π}{6}$）=1；
又0＜A＜π，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{1}{2}$bc，
又∵a²=b²+c²-2bccosA，a=$\sqrt{3}$，
∴3=b²+c²-bc≥bc（当b=c时取等号），
∴bc≤3，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值$\frac{3}{2}$，此时b=c=$\sqrt{3}$．

点评本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦定理及向量的数量积的应用问题，是综合性题目．

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