Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$

Answer 1

分析 由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（2c）^{2}+1-{c}^{2}}{2×2c}$=$\frac{1}{4}（3c+\frac{1}{c}）$，再利用基本不等式的性质可得C的最大值，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（2c）^{2}+1-{c}^{2}}{2×2c}$=$\frac{1}{4}（3c+\frac{1}{c}）$≥$\frac{1}{4}×2\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C∈（0，π），c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号．
∴$0＜C≤\frac{π}{6}$，
∴当C取最大值$\frac{π}{6}$时，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×1×\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$sin\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．