Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinC-

3

ccosB=0．
（1）求tanB；
（2）若b=7，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知和正弦定理可得sinBsinC-

3

sinCcosB=0，即可求得tanB的值；
（2）由（1）知，B=

π

3

，由余弦定理可得（a+c）²=3ac+49≤

3

4

（a+c）²+49，即有a+c≤14（当且仅当a=c=7时取等号），即可求△ABC的周长的最大值．

解答： 解：（1）∵bsinC-

3

ccosB=0，
∴sinBsinC-

3

sinCcosB=0…（2分）
∵sinC≠0，cosB≠0
∴tanB=

3

…（4分）
（2）由（1）知，B=

π

3

由7²=a²+c²-2accosB，得49=a²+c²-ac，…（7分）
∴（a+c）²=3ac+49≤

3

4

（a+c）²+49
∴a+c≤14（当且仅当a=c=7时取等号），
∴△ABC周长的最大值为21          …（10分）

点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的应用，不等式的解法，综合性强，属于中档题．