Question

如图已知A、B分别为∠POQ的边OP、OQ上的动点且∠POQ=60°，|

OA

-

OB

|=6
（1）若

OA

•

OB

=12，求|

OA

|，|

OB

|；
（2）求

OA

•

OB

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由向量的模|

OA

-

OB

|=6及数量积推出模的平方和，解方程组，求得结论．
（2）利用数量积的表达式，及

OA

2-2

OA

•

OB

+

OB

2=36，利用基本不等式求其最值．

解答：解：（1）∵|

OA

-

OB

|=6，
∴

OA

2-2

OA

•

OB

+

OB

2=36
又∵

OA

•

OB

=12，
∴

OA

2+

OB

2=60，|

OA

|•|

OB

|=24
∴

OA =2 3 OB |=4 3

或

OA |=4 3 OB |=2 3

．

（2）

OA

•

OB

=

OA

|•|

OB

|cos∠POQ=

1

2

|

OA

|•|

OB

|
又∵

OA

2-2

OA

•

OB

+

OB

2=36
∴

OA

2-|

OA

|•|

OB

|+

OB

2=36
而

OA

2+

OB

2≥2  |

OA

|•|

OB

|
∴|

OA

|•|

OB

|≤36当且仅当|

OA

|=|

OB

|=6时取等号
即

OA

•

OB

的最大值为18

点评：本题考查向量的数量积，向量的模，基本不等式等知识，是中档题．