Question

17．已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0），并且经过点P（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与圆O：x²+y²=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ，且满足$\frac{1}{2}$≤λ≤$\frac{2}{3}$时，求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）由题意可知：直线l的斜率不为零，设直线l方程：x-my-n=0与圆O：x²+y²=1相切，可得$\frac{|n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立可得：（m²+4）y²+2mny+n²-4=0，可得：|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|，S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|，λ=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+n）（my₂+n）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²，由$\frac{1}{2}$≤λ≤$\frac{2}{3}$，令t=m²+1，则λ=$\frac{t}{t+3}$，可得t∈[3，6]，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，
联立解得：a=2，b=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1．
（2）由题意可知：直线l的斜率不为零，
设直线l方程：x-my-n=0与圆O：x²+y²=1相切，
∴$\frac{|n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，解得n²=m²+1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，
消去x整理得：（m²+4）y²+2mny+n²-4=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2mn}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$．
又∵|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}d•|{AB}|=\frac{1}{2}•\frac{|n|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}•\sqrt{1+{m^2}}•|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}|n|•|{{y_1}-{y_2}}|=2\sqrt{3}•\sqrt{\frac{n^2}{{{{（{{m^2}+4}）}^2}}}}=2\sqrt{3}•\sqrt{\frac{{{m^2}+1}}{{{{（{{m^2}+4}）}^2}}}}$，
λ=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+n）（my₂+n）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=$\frac{5{n}^{2}-4{m}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$=$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+4}$，
∵$\frac{1}{2}$≤λ≤$\frac{2}{3}$，令t=m²+1，
则λ=$\frac{t}{t+3}$，可得t∈[3，6]，
∴S_△AOB=2$\sqrt{3}$$\sqrt{\frac{t}{（t+3）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{t+\frac{9}{t}+6}}$，
∵$t+\frac{9}{t}$∈$[6，\frac{15}{2}]$，∴（$t+\frac{9}{t}$+6）∈$[12，\frac{27}{2}]$，
∴$\sqrt{t+\frac{9}{t}+6}$∈$[\sqrt{12}，\sqrt{\frac{27}{2}}]$，
∴S_△AOB∈$[\frac{2\sqrt{2}}{3}，1]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．