Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，sinA=$\frac{3}{5}$．
（1）求sinC的值；
（2）设D为AC的中点，若△ABC的面积为6，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由已知及向量的运算可求|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，进而可得A=B，A与B都是锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用二倍角公式即可得解sinC的值．
（2）由（1）及三角形面积公式可求a=b=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，由二倍角公式求得cosC的值，利用余弦定理可求BD的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，得$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}）$=0，
即（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$）=|$\overrightarrow{AC}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²=0，
故|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，（也可以由向量数量积的几何意义得出|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|）
从而A=B，A与B都是锐角
则cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
sinC=sin（A+B）=sin2A=2sinAcosA=$\frac{24}{25}$，即sinC=$\frac{24}{25}$．
（2）由题意知，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{12{a}^{2}}{25}$=6，得a=b=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
如右图，CD=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
又cosC=cos（π-2A）=-cos2A=-（1-2sin²A）=-$\frac{7}{25}$，
在△BCD中，由余弦定理得：
BD²=CD²+BC²-2CD•BCcosC=$\frac{25}{8}$+$\frac{25}{2}$-2×$\frac{5\sqrt{2}}{4}$×$\frac{5\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{7}{25}$）=$\frac{153}{8}$．
故BD=$\frac{3\sqrt{34}}{4}$．

点评 本题主要考查了向量的运算，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．