Question

四面体DABC的体积为

1

6

，∠ACB=

π

4

，AD=1，BC+

AC

2

=2，则CD=

 

．

Answer 1

分析：由已知中四面体DABC的体积为

1

6

，∠ACB=

π

4

，AD=1，BC+

AC

2

=2，我们可以设四棱锥D-ABC的高为DA'，结合点到平面的距离垂线段最短，我们可以构造一个不等式，结合基本不等式，我们易判断出AD与平面ABC垂直，并且可以求出BC及AC的长，结合勾股定理即可得到答案．

解答：解：已知如下图所示：

作DA'⊥平面ABC，则AD≥A'D
则V_D-ABC=

1

3

•A′D(

1

2

•AC•BC•sin45°)=

1

6

≤

1

3

•AD(

1

2

•AC•BC•sin45°)
即AD•BC•

AC

2

≥1
由基本不等式得AD+BC+

AC

2

≥3

3	AD•BC• AC 2

≥3
当且仅当AD=BC=

AC

2

=1时取等号，
而AD+BC+

AC

2

=2+1=3
故AD'=AD=1
即AD⊥平面ABC
此时，AC=

2

，
由勾股定理易得CD=

3

故答案为：

3

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积及直线与平面垂直的性质，其中根据已知条件，结合基本不等式判断出AD与平面ABC垂直，是解答本题的关键．