Question

8．已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=2^x，则$f（{log_{\frac{1}{2}}}23）$=（　　）

• A． $-\frac{16}{23}$
• B． $-\frac{23}{16}$
• C． $\frac{16}{23}$
• D． $\frac{23}{16}$

Answer 1

分析 由函数是奇函数得到f（-x）=-f（x）和f（x+2）=f（x）把则$f（{log_{\frac{1}{2}}}23）$进行变形得到-f（$lo{g}_{2}\frac{23}{16}$），由$lo{g}_{2}\frac{23}{16}$∈（0，1）满足f（x）=2^x，求出即可．

解答 解：根据对数函数的图象可知 $f（{log_{\frac{1}{2}}}23）$＜0，且$f（{log_{\frac{1}{2}}}23）$=-log₂²³；
奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）和f（-x）=-f（x）
则$f（{log_{\frac{1}{2}}}23）$=f（-log₂²³）=-f（log₂²³）=-f（log₂²³-4）=-f（$lo{g}_{2}\frac{23}{16}$），
因为$lo{g}_{2}\frac{23}{16}$∈（0，1）
∴-f（$lo{g}_{2}\frac{23}{16}$）=$-{2}^{lo{g}_{2}\frac{23}{16}}$=$-\frac{23}{16}$，
故选：B

点评 考查学生应用函数奇偶性的能力，函数的周期性的掌握能力，以及运用对数的运算性质能力．