Question

（本小题满分13分）已知函数簇 ．

（1）设曲线列的顶点的纵坐标构成数列，求证：数列为等差数列；

（2）设曲线列的顶点到轴的距离构成数列，为数列的前项和，求S20．

 

Answer 1

（1）因为，所以.所以，所以数列为等差数列；（2）.

【解析】

试题分析：（1）首先对已知函数簇进行配方，确定所给函数的图象的顶点的纵坐标，从而可求数列的通项，再根据等差数列的定义证明其为等差数列；（2）求出曲线列的顶点到轴的距离，从而确定数列的通项，进而可分段求出的前项和．

试题解析：（1）因为，所以.所以，所以数列为等差数列.

（2）由题意知，. 当时，；当时，；所以.

考点：数列的求和；等差数列的性质．