Question

12．如图所示，在直三棱柱ABC-DEF中，底面ABC的棱AB⊥BC，且AB=BC=2．点G、H在棱CF上，且GH=HG=GF=1
（1）证明：EH⊥平面ABG；
（2）求点C到平面ABG的距离．

Answer 1

分析 （1）证明：AB⊥平面BCFE，可得AB⊥EH，证明EH⊥BG，即可证明EH⊥平面ABG；
（2）利用等体积转换，求点C到平面ABG的距离．

解答 证明：（1）因为ABC-DEF是直三棱柱，所以FC⊥平面ABC，
而 AB?平面ABC，
所以，FC⊥AB．
又∵AB⊥BC，BC∩FC=C，
∴AB⊥平面BCFE，
又∵EH?平面BCFE，
∴AB⊥EH．
由题设知△EFH与△BCG均为直角三角形，
∵EF=2=FH，BC=2=CG，
∴∠EHF=45°，∠BGC=45°．…（6分）
设BG∩EH=P，则∠GPH=90°，即EH⊥BG．
又AB∩BG=B，
∴EH⊥平面ABG．
解：（2）∵AB=BC=2，AB⊥BC，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB×BC=2$．
∵CG⊥平面ABC，
∴${V_{G-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}×CG=\frac{4}{3}$．
由（1）知AB⊥BG，CG=2=BC，$BG=\sqrt{B{C^2}+C{G^2}}=\sqrt{{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$，
∴${S_{△ABG}}=\frac{1}{2}AB×BG=2\sqrt{2}$．
设点C到平面ABG的距离为h，则
${V_{C-ABG}}=\frac{1}{3}{S_{△ABG}}•h═\frac{2}{3}\sqrt{2}h={V_{G-ABC}}=\frac{4}{3}$，
∴$h=\sqrt{2}$．…（12分）
即点C到平面ABG的距离为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．