题目内容
8．已知A（2，2，0），B（1，4，2），C（0，0，5），求原点O到平面ABC的距离．分析 由已知得$\overrightarrow{CA}$=（2，2，0），$\overrightarrow{CB}$=（1，4，2），$\overrightarrow{OA}$=（0，0，5），设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=x+y-2z=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+2y-z=0\end{array}\right.$，由此利用向量法能求出原点O到平面ABC的距离．
解答 解：∵A（2，2，0），B（1，4，2），C（0，0，5），
∴$\overrightarrow{CA}$=（2，2，-5），$\overrightarrow{CB}$=（1，4，-3），$\overrightarrow{OA}$=（2，2，0），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=2x+2y-5z=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+4y-3z=0\end{array}\right.$，
取z=1，则x=$\frac{7}{3}$，y=$\frac{1}{6}$，取$\overrightarrow{n}$=（14，1，6），
∴原点O到平面ABC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{|28+2|}{\sqrt{{14}^{2}+{1}^{2}+{6}^{2}}}$=$\frac{30}{\sqrt{233}}$=$\frac{30\sqrt{233}}{233}$．
故答案为：$\frac{30\sqrt{233}}{233}$．
点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
新课标阶梯阅读训练系列答案
如图所示，点E，F在以AB为直径的圆O（O为圆心）上，AB∥EF，平面ABCD⊥平面ABEF，且AB=2，AD=EF=1（Ⅰ）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；
（Ⅱ）求证：AF⊥面CBF．
| A． | $f（x）={x^2}，g（x）=\sqrt{x^2}$ | B． | $f（x）=\frac{{{{（\sqrt{x}）}^2}}}{x}，g（x）=\frac{x}{{{{（\sqrt{x}）}^2}}}$ | ||
| C． | f（x）=1，g（x）=（x-1）0 | D． | $f（x）=\frac{{{x^2}-9}}{x+3}，g（x）=x-3$ |