Question

已知点P是曲线C：ρ²=

3

2-cos2θ

上的一个动点，则P到直线l：

x=-1+ 2 2 t y=3+ 2 2 t

（t为参数）的最长距离为

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：计算题,坐标系和参数方程

分析：运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²将曲线C化为直角坐标方程，将直线l化为普通方程，将直线方程代入椭圆方程，运用直线与椭圆相切，得到切线方程，再由两平行线间的距离，即可得到最大值．

解答：解：曲线C：ρ²=

3

2-cos2θ

=

3

2-(1-2sin2θ)

，
化为直角坐标方程：ρ²+2ρ²sin²θ=3，
x²+y²+2y²=3即椭圆

x2

3

+y2=1，
直线l：

x=-1+ 2 2 t y=3+ 2 2 t

（t为参数），化为普通方程得，y=x+4，
平移l得直线m：y=x+t，代入椭圆方程，得4x²+6tx+3t²-3=0，
由相切得，判别式36t²-48（t²-1）=0，解得t=±2，即y=x±2，
则l，m间的距离为

|4+2|

2

或

|4-2|

2

，即3

2

或

2

．
故最长距离为3

2

．

点评：本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及直线与椭圆的位置关系，是一道中档题．