Question

15．已知抛物线C₁：x²=2y的焦点为F，以F为圆心的圆C₂交C₁于A、B，交C₁的准线于C、D，若四边形ABCD是矩形，则圆C₂的方程为（　　）

• A． x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=4
• B． x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=12
• C． x²+（y-1）²=4
• D． x²+（y-1）²=12

Answer 1

分析 依题意知，圆C₂的圆心坐标为F（0，$\frac{1}{2}$），且点F为该矩形ABCD的两条对角线的交点，利用点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等可求得直线AB的方程为：y=$\frac{3}{2}$，从而可求得A点坐标，从而可求得圆C₂的半径，于是可得答案．

解答 解：依题意，抛物线C₁：x²=2y的焦点为F（0，$\frac{1}{2}$），
∴圆C₂的圆心坐标为F（0，$\frac{1}{2}$），
作图如下：

∵四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，F（0，$\frac{1}{2}$）为圆C₂的圆心，
∴点F为该矩形的两条对角线的交点，
∴点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等，又点F到直线CD的距离d=1，
∴直线AB的方程为：y=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），
∴圆C₂的半径r=|AF|=$\sqrt{（\sqrt{3}-0）^{2}+（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}）^{2}}$=2，
∴圆C₂的方程为：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=4，
故选：A．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F为该矩形ABCD的两条对角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于难题．