Question

17．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（0＜ω≤2），直线x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的一条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=1且a=2，求△ABC的面积最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的图象的对称性可得ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，由此求得ω的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，即可求出面积的最值．

解答 解：（1）由题意可得f（$\frac{π}{4}$）=sin（ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=±1，
∴ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即ω=4k+1，k∈Z，
∵0＜ω≤2
∴ω=1，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）；
（2）f（A）=sin（A+$\frac{π}{4}$）=1，∴A=$\frac{π}{4}$，
∴4=b²+c²-$\sqrt{2}$bc≥（2-$\sqrt{2}$）bc
∴bc≤4+2$\sqrt{2}$，当且仅当b=c取等号，
∴△ABC的面积最大值为$\frac{1}{2}$•（4+2$\sqrt{2}$）$•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．属于中档题．