Question

9．已知函数f（x）=ax²+xlnx-1，a∈R，其中e是自然对数的底数．
（1）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[1，5]上为单调函数，求a的取值范围；
（3）当a=-e时，试判断方程|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x是否有实数解，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[1，5]上为单调函数，则f′（x）=2ax+lnx+1≥0恒成立，或f′（x）=2ax+lnx+1≤0恒成立，分类讨论，分离参数求a的取值范围；
（3）当a=-e时，分别判断左右的最值，即可判断方程|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x是否有实数解．

解答 解：（1）当a=0时，因为f（x）=xlnx-1，所以f′（x）=lnx+1．
令f′（x）=lnx+1=0，解得x=$\frac{1}{e}$，…（2分）
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）是单调递减函数，
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）是单调递增函数，
所以当x=$\frac{1}{e}$时，函数f（x）有极小值，即f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$-1．…（3分）
函数f（x）无极大值．   …（4分）
（2）若函数在区间[1，5]上是单调函数，
则f′（x）=2ax+lnx+1≥0恒成立，或f′（x）=2ax+lnx+1≤0恒成立，…（5分）
当f′（x）=2ax+lnx+1≥0恒成立时，
即2a≥-$\frac{lnx+1}{x}$恒成立，
令h（x）=-$\frac{lnx+1}{x}$，h′（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
当x∈[1，5]，h′（x）＞0，函数h（x）是单调递增函数，
即a≥-$\frac{ln5+1}{10}$，…（7分）
当f′（x）=2ax+lnx+1≤0恒成立时，即2a≤-$\frac{lnx+1}{x}$，
由上可知2a≤f（1）=-1，即a≤-$\frac{1}{2}$，…（9分）
综上，a≤-$\frac{1}{2}$或a≥-$\frac{ln5+1}{10}$                          …（10分）
（3）因为f（x）=-ex²+xlnx-1，
所以|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x，即|-ex+lnx|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$         …（11分）
令p（x）=-ex+lnx，p′（x）=-e+$\frac{1}{x}$，
令p′（x）=0，即x=$\frac{1}{e}$，
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，p′（x）＞0，函数p（x）是单调递增函数，
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，p′（x）＜0，函数p（x）是单调递减函数，
所以当x=$\frac{1}{e}$时，p（x）取最大值，p（$\frac{1}{e}$）=-1-1=-2＜0，所以|p（x）|＞2…（13分）
令q（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，q′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令q′（x）=0，即x=e，
当x∈（0，e）时，q′（x）＞0，函数q（x）是单调递增函数，
当x∈（e，+∞）时，q′（x）＜0，函数q（x）单调递减函数，
所以当x=e时，q（x）取最大值，q（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$＜2，…（15分）
所以方程|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x无实根． …（16分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度大．