Question

19．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在l上的射影为A₁．若|AB|=|A₁B|，则直线AB的斜率为（　　）

• A． ±3
• B． ±2$\sqrt{2}$
• C． ±2
• D． ±$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设A，B到准线的距离分别为2a，a，由抛物线的定义可得|AB|=3a，利用锐角三角函数的定义即可得出直线AB的斜率．

解答 解：设A在第一象限，直线AB的倾斜角为α．
过B作准线的垂线BB′，作AA′的垂线BC，
∵|AB|=|A₁B|，∴C是AA′的中点．
设|BB′|=a，则|AA′|=2a，∴|AB|=|AA′|+|BB′|=3a．
∴cosα=cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴tanα=2$\sqrt{2}$，
由抛物线的对称性可知当A在第四象限时，tanα=-2$\sqrt{2}$．
∴直线AB的斜率为±2$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义，考查直线的斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．