Question

11．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；
（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．

Answer 1

分析 （1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．
（2）先证明△BDE∽△ABE，可得$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AB}$，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AB}$，即可得解．

解答 解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…（2分）
又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…（4分）
所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（5分）
（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，
所以$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AB}$，…（7分）
又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…（8分）
所以$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AB}$，…（9分）
所以AE•DC=AB•BE…（10分）．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，注意圆的切线的性质的灵活运用，属于中档题．