Question

如图，A为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，AF₁=3AF₂．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设

AF1

=λ1

F1B

 ，   

AF2

=λ2

F2C

，证明：当A点在椭圆上运动时，λ₁+λ₂是定值．

Answer 1

分析：（1）设|AF₂|=m，则|AF₁|=3m．由题设及椭圆定义得

(3m)2-m2=(2c)2 3m+m=2a

．消去m，再利用椭圆离心率计算公式即可得出．
（2）由（1）知：b2=c2=

1

2

a2，可得椭圆方程可化为x²+2y²=2c²．
设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x02+2y02=2c2．
①若A为椭圆的长轴端点，则λ1=

a+c

a-c

，  λ2=

a-c

a+c

，或λ1=

a-c

a+c

，  λ2=

a+c

a-c

，即可得出；
②若A为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由

AF1

=λ1

F1B

，  

AF2

=λ2

F2C

得λ1=-

y0

y1

 ，   λ2=-

y0

y2

，分别把直线AF₁，AF₂的方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，即可用x₀，y₀表示λ₁，λ₂即可．

解答：解：（1）设|AF₂|=m，则|AF₁|=3m．
由题设及椭圆定义得

(3m)2-m2=(2c)2 3m+m=2a

．
消去m得a²=2c²，所以离心率e=

2

2

．
（2）由（1）知：b2=c2=

1

2

a2，所以椭圆方程可化为x²+2y²=2c²．
设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x02+2y02=2c2．
①若A为椭圆的长轴端点，则λ1=

a+c

a-c

，  λ2=

a-c

a+c

，或λ1=

a-c

a+c

，  λ2=

a+c

a-c

，
所以λ1+λ2=

2(a2+c2)

a2-c2

=6．
②若A为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由

AF1

=λ1

F1B

，  

AF2

=λ2

F2C

得λ1=-

y0

y1

 ，   λ2=-

y0

y2

，
所以λ1+λ2=-y0(

1

y1

+

1

y2

)．
又直线AF₁的方程为x+c=

x0+c

y0

y，
由

x+c= x0+c y0 y x2+2y2=2c2

得[2y02+(x0+c)2]y2-2cy0(x0+c)y-c2y02=0．
∵x02+2y02=2c2，
∴(3c+2x0)y2-2y0(x0+c)y-cy02=0，
由韦达定理得y0y1=-

cy02

3c+2x0

，∴y1=-

cy0

3c+2x0

，
由对称性得y2=

cy0

-3c+2x0

．
所以λ1+λ2=-y0(

1

y1

+

1

y2

)=-y0(-

3c+2x0

cy0

+

-3c+2x0

cy0

)=6．
综上可得，当A点在椭圆上运动时，λ₁+λ₂为定值6．

点评：熟练掌握椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算及其相等、分类讨论思想方法等是解题的关键．