Question

如图所示的数表，对任意正整数i（i=1，2，3，…）满足以下两个条件：
①第一行只有一个数1；
②第i行共有i个数，这行从左至右第一个数等于前一行所有数的平均数．这些数构成一个公差为2的等差数列．
则：第n行所有数的和为

n(n2-n+2)

2

．

Answer 1

分析：根据条件先确定每一行的第一个数之间的关系，然后利用等差数列的前n项和公式进行求和．

解答：解：设a_n为第n行所有数的和，根据第i行从左至右第一个数等于前一行所有数的平均数，可得第n行的第一个数等于

an-1

n-1

，
再利用第i行的数构成一个公差为2的等差数列，
则an=n?

an-1

n-1

+

n(n-1)

2

×2=n?

an-1

n-1

+n(n-1)，
即

an

n

=

an-1

n-1

+(n-1)，
所以

an

n

-

an-1

n-1

=n-1，n≥2，
即

a2

2

-

a1

1

=2-1=1，

a3

3

-

a2

2

=3-1=2
…

an

n

-

an-1

n-1

=n-1，
等式两边同时相加得，

an

n

-a1=1+2+???+(n-1)=

n(n-1)

2

，
即

an

n

=a1+

n(n-1)

2

=1+

n(n-1)

2

=

n2-n+2

2

，
所以an=

n(n2-n+2)

2

．
故答案为：

n(n2-n+2)

2

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法，利用定义先求出每一行的第一个数是解决本题的关键，注意利用累加法可求数列的通项公式．