题目内容
已知抛物线C：y=x2+4x+
，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．
(1)若C在点M法线的斜率为-
，求点M的坐标(x0，y0)；
(2)设P(-2，a)为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．
答案：
解析：
解析：
(1)函数y=x2+4x+ C上点(x0，y0)处切线的斜率k0=2x0+4 因为过点(x0，y0)的法线斜率为- 所以- 解得x0=-l，y0= 故点M的坐标为(-l， (2)设M(x0，y0)为C上一点 ①若x0=-2，则C上点M(-2， ②若x0≠-2，则过点M(x0，y0)的法线方程为y-y0= 若法线过P(-2，a)，则a-y0= 即(x0+2)2=a ② 若a＞0，则x0=-2± y0= 将上式代入①，化简得 x+2 x-2 若a=0，则与x0≠-2矛盾 若a＜0，则②式无解 综上，当a＞0时，在C上有三个点( x+2 x-2 x=-2 当a≤0时，在C上有一个点(-2， x=-2
|
的导数y′=2x+4
(2x0+4)=-1
)
)处的切线斜率k=0，过点M(-2，
)的法线方程为x=-2，此法线过点P(-2，a)．
(x-x0) ①
(-2-x0)
，从而
+4x0+
=
y+2-2a
=0
y+2+2a
=0
，
)，(
，
)及(-2，
)．在这三点的法线过点P(-2，a)，其方程分别是
y+2-2a
=0
y+2+2a
=0
)，在这点的法线过点P(-2，a)，其方程为
练习册系列答案
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)2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.
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