Question

11．设k为实数
（1）$\overrightarrow{a}$=（1，k），$\overrightarrow{b}$=（-2，-5）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求k；
（2）在（1）的条件下，数列{a_n}满足a_n=$\frac{2kn}{5•{3}^{n}}$，求a₁+a₂+a₃+…+a_n．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理可得k．
（2）a_n=$\frac{2kn}{5•{3}^{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，∴-2k-（-5）×1=0，解得k=$\frac{5}{2}$．
（2）a_n=$\frac{2kn}{5•{3}^{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{4×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．