Question

4．已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是：x±2y=0，双曲线上动点P到点A（5，0）的距离的最小值为$\sqrt{6}$，则双曲线的准线方程是（　　）

• A． x=±$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． x=±$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． y=±$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． y=±$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由已知条件，设双曲线方程为4y²-x²=4λ，λ＞0，由双曲线上动点P到点A（5，0）的距离的最小值为$\sqrt{6}$，得到双曲线的方程，由此能求出双曲线的准线方程．

解答 解：∵焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是：x±2y=0，
∴设双曲线方程为4y²-x²=4λ，λ＞0，
设P（x，y），|PA|²=（x-5）²+y²=$\frac{5}{4}$（x-4）²+5+λ，
∵双曲线上动点P到点A（5，0）的距离的最小值为$\sqrt{6}$，
∴$\sqrt{5+λ}$=$\sqrt{6}$，
解得λ=1，
∴双曲线方程为${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
∴a=1，b=2，c=$\sqrt{5}$，
∴双曲线的准线方程是y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的标准方程和双曲线的准线方程，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．