题目内容

15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2=3，S5=25，若{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为$\frac{1008}{2017}$，则n的值为（　　）
A．504B．1008C．1009D．2017

分析 先求出等差数列{an}的通项公式，再根据裂项求和即可求出n的值．

解答 解：设等差数列的公差为d，
则由题意可得a2=a1+d=3，S5=5a1+$\frac{5×4}{2}$d=25，
联立解得a1=1，d=2，
∴an=1+2（n-1）=2n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1008}{2017}$，
∴1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2016}{2017}$，
∴2n+1=2017，
∴n=1008，
故选：B

点评 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，以及裂项求和，属于中档题．

练习册系列答案
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