Question

11．已知函数f（x）=$\frac{4+{2}^{1-x}}{1+{2}^{-x}}$（x∈R）
（1）用定义证明f（x）是增函数；
（2）若g（x）=f（x）-a是奇函数，求g（x）在（-∞，a]上的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用定义证明步骤，即可证明f（x）是增函数；
（2）利用g（x）=f（x）-a是奇函数，求出a，即可求g（x）在（-∞，a]上的取值集合．

解答 （1）证明：f（x）=2+$\frac{2}{1+{2}^{-x}}$，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=2×$\frac{{2}^{-{x}_{2}}-{2}^{-{x}_{1}}}{（1+{2}^{-{x}_{1}}）（1+{2}^{-{x}_{2}}）}$＜0，
∴f（x）是增函数；
（2）解：∵g（x）=f（x）-a是奇函数，
∴g（0）=f（0）-a=3-a=0，
∴a=3，
∴g（x）=$\frac{2}{1+{2}^{-x}}$-1，
∵x≤3，∴0＜$\frac{2}{1+{2}^{-x}}$≤$\frac{16}{9}$
∴-1＜g（x）≤$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查函数单调性定义的运用，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．