Question

10．某同学上学途中必须经过A，B，C，D四个交通岗，其中在A，B岗遇到红灯的概率均为$\frac{1}{2}$，在C，D岗遇到红灯的概率均为$\frac{1}{3}$．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X表示他遇到红灯的次数．
（1）若X≥3，就会迟到，求张华不迟到的概率；
（2）求X的分布列及EX．

Answer 1

分析 （1）根据排列组合公式计算P（X=3），P（X=4），使用对立事件公式得出不迟到的概率；
（2）依次计算X取各种可能取值的概率，得出分布列，代入公式计算数学期望．

解答 解：（1）P（X=3）=C${\;}_{2}^{1}$（$\frac{1}{2}$）²（$\frac{1}{3}$）²+C${\;}_{2}^{1}$（$\frac{1}{2}$）²$•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=4）=（$\frac{1}{2}$）²（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{36}$，
∴P（X≤2）=1-P（X=3）-P（X=4）=$\frac{29}{36}$．
∴张华不迟到的概率为$\frac{29}{36}$．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4．
$P（{X=0}）={（{\frac{1}{2}}）^2}{（{1-\frac{1}{3}}）^2}=\frac{1}{9}$，$P（{X=1}）=C_2^1{（{\frac{1}{2}}）^2}{（{1-\frac{1}{3}}）^2}+{（{\frac{1}{2}}）^2}C_2^1（{\frac{1}{3}}）（{1-（{\frac{1}{3}}）}）=\frac{1}{3}$，
$P（{X=2}）=1-（{\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{36}}）=\frac{13}{36}$，又P（X=3）=$\frac{1}{6}$，P（X=4）=$\frac{1}{36}$．
∴X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

∴EX=0×$\frac{1}{9}$+1×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{13}{36}$+3×$\frac{1}{6}$+4×$\frac{1}{36}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了排列组合公式，概率计算，分布列及数学期望，属于中档题．