题目内容
设x、y满足条件
+
≤2，若目标函数z=
+
（其中b＞a＞0）的最大值为5，则8a+b的最小值为 ．
|
|
| x |
| a |
| y |
| b |
考点：简单线性规划
专题：不等式的解法及应用
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=
+
（其中b＞a＞0）的最大值为5，确定a，b关系，利用基本不等式的性质即可得到结论．
| x |
| a |
| y |
| b |
解答：
解：由z=
+
得y=-
x+bz，
∵b＞a＞0，
∴斜率k=-
＜-1
作出可行域如图：平移直线y=-
x+bz，
由图象可知当y=-
x+bz过点A（2，1）时，直线的截距最大，此时z也最大为5．
此时z=
+
=5，
即
+
=1
则8a+b=（8a+b）（
+
）=
+
+
+
≥
+2
=
+
=
=5，
当且仅当
=
，即b=2a时取=号，
故答案为：5．
解：由z=| x |
| a |
| y |
| b |
| b |
| a |
∵b＞a＞0，
∴斜率k=-
| b |
| a |
作出可行域如图：平移直线y=-
| b |
| a |
由图象可知当y=-
| b |
| a |
此时z=
| 2 |
| a |
| 1 |
| b |
即
| 2 |
| 5a |
| 1 |
| 5b |
则8a+b=（8a+b）（
| 2 |
| 5a |
| 1 |
| 5b |
| 16 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 8a |
| 5b |
| 2b |
| 5a |
| 17 |
| 5 |
|
| 17 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 25 |
| 5 |
当且仅当
| 8a |
| 5b |
| 2b |
| 5a |
故答案为：5．
点评：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
练习册系列答案
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