Question

13．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足：2|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≠0，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 对条件$2|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的两边平方即可得出$4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-8|\overrightarrow{a}{|}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$，这样即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：根据条件，$4{\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，且$|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|$；
∴$4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-8|\overrightarrow{a}{|}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$；
∴$4-8cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故选：A．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角的概念及范围，已知三角函数值求角．