Question

20．已知正三棱锥S-ABC的六条棱长都为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，则它的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． $\frac{32\sqrt{3}π}{3}$
• C． $\frac{64π}{3}$
• D． $\frac{64\sqrt{2}π}{3}$

Answer 1

分析 由正三棱锥S-ABC的所有棱长均为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，所以此三棱锥一定可以放在棱长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入球的体积公式计算即可．

解答 解：∵正三棱锥S-ABC的所有棱长都为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴此三棱锥一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此三棱锥．
∴正方体的棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
∵外接球的直径为正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=2，
∴球的体积为V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{32}{3}$π，
故选：A．

点评 本题考查几何体的接体问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是根据几何体的结构特征，求出接体几何元素的数据，代入球的体积公式分别求解．