Question

13．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若x₀为f（x）的一个零点（0≤x₀≤$\frac{π}{2}$），求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，根据正弦函数图象及性质即可求得f（x）的单调增区间；
（2）由f（x₀）=0，求得sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$，由x₀的取值范围，即可求得2x₀-$\frac{π}{6}$的取值范围，由同角三角函数的基本关系，求得cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）的值，由2x₀=（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$，根据两角和的余弦公式即可求得cos2x₀的值．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$），
=sin²x+$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）（sinx-cosx），
=sin²x+$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{1}{2}$（sin²x-cos²x），
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\sqrt{3}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x，
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{1}{2}$，
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，
函数f（x）的单调递增区间：$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]，k∈Z$；…（6分）
（2）由f（x₀）=2sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0，
得sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$＜0，…（7分）
又由0≤x₀≤$\frac{π}{2}$，得-$\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，…（8分）
∴-$\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$＜0，…（9分）
∴cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，…（10分）
则  cos2x₀=cos[（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]，
=cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$ …（11分）
=$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{1}{4}$）×$\frac{1}{2}$，
=$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$，
cos2x₀=$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换的应用，考查二倍角公式、辅助角公式及两角和差的公式的综合运用，考查学生的计算能力，属于中档题．