题目内容

8．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=$\sqrt{3}$，则$\frac{sinC}{c}$等于（　　）
A．$\frac{1}{3}$B．$\frac{\sqrt{3}}{3}$C．$\frac{\sqrt{2}}{2}$D．$\frac{1}{2}$

分析 由二倍角的余弦公式变形、诱导公式化简已知的方程，求出cosB的值，由B的范围和特殊角的三角函数值求出B，由正弦定理求出$\frac{sinC}{c}$的值．

解答 解：在△ABC中，∵A+C=π-B，∴cos（A+C）=-cosB，
∵cos2B+3cos（A+C）+2=0，
∴2cos2B-3cosB+1=0，解得cosB=$\frac{1}{2}$或1，
又0＜B＜π，∴cosB=$\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理得，$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴$\frac{sinC}{c}=\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查正弦定理，倍角的余弦公式变形、诱导公式的综合应用，考查化简、计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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A．2018B．2017C．2016D．2015

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