Question

20．已知函数y=ax-ln（x-1）．
（1）若曲线y在x=2处的切线方程为y=3x+2，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求导y′=a-$\frac{1}{x-1}$，由题意可知y′丨_x=2=3，代入即可求得a的值；
（2）求出函数的定义域及导函数，通过对a的分类讨论判断出导函数的符号，根据导函数的符号与函数单调性的关系写出单调区间，根据函数的单调性即可求得函数的极值．

解答 解：（1）由y=ax-ln（x-1），y′=a-$\frac{1}{x-1}$．
由曲线y在x=2处的切线方程为y=3x+2，．
即y′丨_x=2=3，即a-$\frac{1}{2-1}$=3，
∴a=4，
（2）函数y=ax-ln（x-1）的定义域为（1，+∞），
y′=a-$\frac{1}{x-1}$．
①当a=0时，y′=-$\frac{1}{x-1}$．
∴y=-ln（x-1）．在（1，+∞）上单调递减；
②当a≠0时，y′=a-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{a（x-\frac{a+1}{a}）}{x-1}$．
当a＞0时，令y′=0，解得x=$\frac{a+1}{a}$，
∴函数y=ax-ln（x-1），在x∈（1，$\frac{a+1}{a}$）时，y′＜0，
函数y=ax-ln（x-1），在x∈（$\frac{a+1}{a}$，+∞）时，y′＞0，
∴函数y=ax-ln（x-1）的单调减区间为（1，$\frac{a+1}{a}$），单调递增区间为（$\frac{a+1}{a}$，+∞）；
∴当x=$\frac{a+1}{a}$时，函数取极小值，极小值为a+1，
当a＜0时，y′=a-$\frac{1}{x-1}$＜0，在（1，+∞）上恒成立，
所以函数在（1，+∞）上单调递减，函数无极值，
综上可知：函数的单调减区间为（1，$\frac{a+1}{a}$），单调递增区间为（$\frac{a+1}{a}$，+∞），
函数有极小值，极小值为a+1；
当a≤0时，函数的单调递减（1，+∞），函数无极值，

点评 本题考查导函数的符号与函数单调性的关系，考查导数与切线方程斜率的关系，考查利用分类讨论求含参数的函数解决单调性问题，属于中档题．