Question

（2013•盐城一模）B．（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵M的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．

 

Answer 1

矩阵M的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为α=．

【解析】

试题分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=﹣1．最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．

【解析】
矩阵M的特征多项式为

f（λ）==（λ﹣1）（λ﹣x）﹣4．

∵λ1=3方程f（λ）=0的一根，

∴（3﹣1）（3﹣x）﹣4=0，可得x=1，M=．

∴方程f（λ）=0即（λ﹣1）（λ﹣1）﹣4=0，λ2﹣2λ﹣3=0

可得另一个特征值为：λ2=﹣1，

设λ2=﹣1对应的一个特征向量为α=，

则由λ2α=Mα，得 得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，

所以矩阵M的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为α=．