Question

4．如图1，已知四边形ABFD为直角梯形，AB∥DF，∠ADF=$\frac{π}{2}$，BC⊥DF，△AED为等边三角形，AD=$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$，DC=$\frac{{2\sqrt{7}}}{3}$，如图2，将△AED，△BCF分别沿AD，BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，连接EF，DF，设G为AE上任意一点．

（1）证明：DG∥平面BCF；
（2）若GC=$\frac{16}{3}$，求$\frac{EG}{GA}$的值．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥平面AED，CD⊥平面BCF，从而平面AED∥平面BCF，由此能证明DG∥平面BCF．
（2）取AD的中点O，连接OE，则OE⊥AD，过G作GH⊥OA，垂足为G，设GH=h，由勾股定理求出h=3或h=2，由此能求出$\frac{EG}{GA}$的值．

解答 证明：（1）由题意可知AD⊥DC，因为平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面AED，
同理CD⊥平面BCF，所以平面AED∥平面BCF．
又DG?平面AED，所以DG∥平面BCF．
解：（2）取AD的中点O，连接OE，则OE⊥AD，过G作GH⊥OA，垂足为G，设GH=h．
∵∠EAD=60°，∴$AH=\frac{{\sqrt{3}}}{3}h$．
∵GC²=GH²+HD²+DC²，
∴$\frac{256}{9}={h^2}+{（\frac{{10\sqrt{3}}}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{3}h）^2}+\frac{28}{9}$，化简得h²-5h+6=0
∴h=3或h=2．
又∵$OE=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=5$，
当h=3时，
在Rt△AOE中，$\frac{AH}{OE}=\frac{AG}{AE}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EG}{GA}=\frac{2}{3}$．
当h=2时，同理可得$\frac{EG}{GA}=\frac{3}{2}$，
综上所述，$\frac{EG}{GA}$的值为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查两线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．