Question

6．在二项式（x+$\frac{1}{2•\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中，若前三项系数成等差数列，则展开式中的常数项为（　　）

• A． $\frac{7}{16}$
• B． 7
• C． 16
• D． 28

Answer 1

分析 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；将n的值代入通项，令x的指数等于0，求出展开式的常数项．

解答 解：二项式（x+$\frac{1}{2•\root{3}{x}}$）ⁿ展开式的通项公式为（$\frac{1}{2}$）^rC_n^rx${\;}^{n-\frac{4r}{3}}$，
前三项的系数为1，$\frac{1}{2}$n，$\frac{1}{8}$n（n-1），
∴n=1+$\frac{1}{8}$n（n-1），
解得n=8，
∴展开式的通项公式为（$\frac{1}{2}$）^rC₈^rx${\;}^{8-\frac{4r}{3}}$，
令8-$\frac{4}{3}$r=0，解得r=6，
则二项式展开式的常数项等于（$\frac{1}{2}$）⁶C₈⁶=$\frac{7}{16}$．
故选：A

点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．