Question

如图，有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m．若从地面高1.5m的C处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大．

Answer 1

分析：过C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=xm，则θ=∠ACD-∠BCD，利用差角的正切公式，我们可以求得tanθ=

2

x+ 5 4 x

．利用基本不等式可得结论．

解答：解：由题意，过C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=xm，则θ=∠ACD-∠BCD
∴tanθ=tan（∠ACD-∠BCD）=

tan∠ACD-tan∠BCD

1+tan∠ACDtan∠BCD

=

2.5 x - 0.5 x

1+ 2.5 x × 0.5 x

=

2

x+ 5 4 x

∵x＞0，∴tanθ≤

2 5

5

∵θ∈(0，

π

2

)．
∴当且仅当x=

5 4

x

，即x=

5

2

m时，tanθ最大，即视角最大，∴离墙

5

2

m时tanθ最大，此时视角最大…（16分）

点评：本题以实际问题为载体，考查差角的正切函数公式，考查基本不等式的运用，解题的关键是利用差角的正切函数公式构建函数模型．