Question

5．已知函数g（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+k}}$，其中k＞1，若g（x）≥m在x∈[-1，1]上有解，则实数m的最大值（　　）

• A． $\frac{1}{1+k}$
• B． $\frac{1}{k}$
• C． $\frac{1}{{e（{1+k}）}}$
• D． $\frac{e}{1+k}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，求解闭区间上的最大值，然后求解m即可．

解答 解：函数g（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+k}}$，可得函数g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}+k）-{e}^{x}（2x）}{（{{x}^{2}+k）}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}[（x-1）^{2}+k-1]}{（{x}^{2}+k）^{2}}$，
∵k＞1，∴k-1＞0，∴g′（x）＞0，g（x）是增函数，
g（x）≥m在x∈[-1，1]上有解，
∴m≤g（x）_max=g（1）=$\frac{e}{1+k}$．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．