Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n-a_n-1=n（其中n≥2且n∈N）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{2{a_n}}}{{n×{4^n}}}$，其前n项和是T_n，求证：T_n＜$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），及其等差数列的求和公式即可得出．
（Ⅱ）由${b_n}=\frac{n（n+1）}{{n×{4^n}}}=\frac{n+1}{4^n}$，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式及其数列的单调性即可得出．

解答 （Ⅰ）解：a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=$1+2+3+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅱ）证明：${b_n}=\frac{n（n+1）}{{n×{4^n}}}=\frac{n+1}{4^n}$，
其前n项和T_n=$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{4}^{n}}$，
$\frac{1}{4}$T_n=$\frac{2}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n}}$+$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$，
∴$\frac{3}{4}$T_n=$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$-$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$，
=$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$=$\frac{7}{12}$-$\frac{3n+7}{3×{4}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{7}{9}$-$\frac{3n+7}{9×{4}^{n}}$＜$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式及其数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．