Question

1．不等式x²+x＜$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$ 对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（　　）

• A． （-2，0）
• B． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• C． （-2，1）
• D． （-∞，-4）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 问题转化为x²+x小于$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的最小值，由基本不等式和不等式的解法可得．

解答 解：∵a，b∈（0，+∞），∴$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=2，
当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{a}$即a=b时，$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$取最小值2，
∵不等式x²+x＜$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$ 对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，
∴x²+x＜2，即（x-1）（x+2）＜0，
解得-2＜x＜1，
故选：C．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题，属基础题．