Question

12．在10件产品中，有2件一等品，4件二等品，4件三等品，从这10件产品中任取3件，求
（Ⅰ）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）取出的3件产品中至多有1件一等品的概率．

Answer 1

分析 （1）X可能取值为0，1，2，X服从超几何分布，由此能求出X的分布列和E（X）．
（2）由P（X≤1）=P（X+0）+P（X=1）能求出取出的3件产品中至多有1件一等品的概率．

解答 解：（1）X可能取值为0，1，2，X服从超几何分布，
$P（X=0）=\frac{C_8^3}{{C_{10}^3}}=\frac{7}{15}$，
$P（X=1）=\frac{C_2^1C_8^2}{{C_{10}^3}}=\frac{7}{15}$，
$P（X=2）=\frac{C_2^2C_8^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{15}$，
∴X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{7}{15}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{1}{15}$

E（X）=$0×\frac{7}{15}+1×\frac{7}{15}+2×\frac{1}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．
（2）取出的3件产品中至多有1件一等品的概率为：
P（X≤1）=P（X+0）+P（X=1）=$\frac{7}{15}+\frac{7}{15}$=$\frac{14}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．