Question

15．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，2a_n+1=a_n+$\frac{5}{{2}^{n}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}中所有整数项的值．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，可得数列{2ⁿa_n}是首项为3，公差为5的等差数列，求出等差数列的通项公式，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）由数列的通项公式求出数列前几项，作差得到数列自第二项起为递减数列，可得数列{a_n}中只有第二项为整数项．

解答 解：（1）由2a_n+1=a_n+$\frac{5}{{2}^{n}}$，得${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}=5$，
即数列{2ⁿa_n}是首项为$2{a}_{1}=2×\frac{3}{2}=3$，公差为5的等差数列，
∴2ⁿa_n=3+5（n-1）=5n-2，
则${a}_{n}=\frac{5n-2}{{2}^{n}}$；
（2）由${a}_{n}=\frac{5n-2}{{2}^{n}}$，
可得${a}_{1}=\frac{3}{2}$，${a}_{2}=\frac{5×2-2}{{2}^{2}}=2$，${a}_{3}=\frac{5×3-2}{{2}^{3}}=\frac{13}{8}$，${a}_{4}=\frac{5×4-2}{{2}^{4}}=\frac{9}{8}$，${a}_{5}=\frac{5×5-2}{{2}^{5}}=\frac{23}{32}$＜1，
由${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{5（n+1）-2}{{2}^{n+1}}-\frac{5n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{5n+3-10n+4}{{2}^{n+1}}=\frac{7-5n}{{2}^{n+1}}$≤0，
可得n≥$\frac{7}{5}$，
∵n∈N^*，∴n≥2，即自第二项起，数列{a_n}为递减数列，
可得a_n＜1（n≥5）．
∴数列{a_n}中只有第二项为整数项，a₂=2．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题．